10 SÉANCES DE PROBLÈMES OUVERTS CLÉ EN MAIN

Niveau : CE1 mais utilisable aussi en CE2, en CLIS, en UPI moyennant quelques aménagements

Objectifs :

APPRENDRE Á CHERCHER

Amener les élèves à :

- développer des procédures de résolutions diverses mais appropriées à la situation (dessin simplifié, calculs) : ils ne doivent pas se précipiter sur les nombres de l’énoncé pour faire l’opération qu’ils connaissent le mieux (l’addition), procédure non appropriée à la situation ;

- prendre conscience que les informations utiles sont dans le texte

- réinvestir, affiner ou faire évoluer les procédures mises en œuvre pour résoudre les problèmes précédents

- découvrir que l’on peut procéder par essais successifs

- découvrir qu’un problème peut avoir plusieurs solutions

- compter de 10 en 10, organiser et traiter des calculs additifs, dénombrer une quantité en utilisant des groupements par 10, utiliser la table de multiplication par 10

Le dossier consultable et téléchargeable ici contient :

- les 10 séances détaillées avec les documents destinés aux élèves

- des énigmes pour occuper les élèves les plus rapides

- des conseils pour la mise en œuvre notamment pour accompagner les élèves en difficulté

Ce dossier est mis en ligne avec l’aimable autorisation de l’équipe ERMEL et des éditions Hatier.

Les problèmes présentés sont :

- La rentrée (ERMEL CE1 de chez Hatier p 53 à 55)

- Le goûter (ERMEL CE1 de chez Hatier p 55)

- Poules et lapins (http://www.auvergne.iufm.fr/Rallyemath/fichiers_site/rallyes_cycle2/rallye1_0304.pdf )

- Chameaux et dromadaires

- Animal imaginaire (http://www.auvergne.iufm.fr/Rallyemath/fichiers_site/rallyes_cycle2/rallye3_0708.pdf )

- Catalogue

- Tous les doigts de l’école (d’après un article de Françoise Paletou IMF dans le Journal des Instituteurs n°9 Mai-Juin 1987 Nathan)

Ce travail a été mené dans 4 classes de CE1 dans le cadre de mon mémoire de master 1 en didactique des mathématiques. Ce mémoire est consultable en ligne.

N’hésitez pas à me faire part de vos remarques, questions, suggestions…

Le jeu des tours

Niveau : GS

Origine : Cette activité est une adaptation du jeu du gratte-ciel que l’on pouvait trouver dans la revue « Tangente & jeux ».

Voici la description que l’on trouve sur le blog-notes mathématique du Coyote :

Encore un jeu logique : le jeu du gratte-ciel. Chaque case contient un immeuble de 10, 20, 30 ou 40 étages (on peut ajouter des immeubles plus hauts sur des grilles plus grandes). Les immeubles d’une même rangée (ligne ou colonne) ont tous des tailles différentes. Les informations données sur les bords indiquent le nombre d’immeubles visibles sur la rangée correspondante par un observateur situé à cet endroit. Par exemple, si une ligne contient la disposition 20-40-30-10, deux immeubles sont visibles depuis la gauche (le 20 et le 40), et trois immeubles sont visibles à partir de la droite (le 10, le 30 et le 40). Le but du jeu est de remplir la grille. Voici un exemple de problème :

Vous trouverez la réponse dans les commentaires sur le blog du Coyote.

Références : L’adaptation présentée ici est issue de l’ouvrage de Dominique Valentin « Découvrir le monde avec les mathématiques – Situations pour la grande section» Hatier (Les tours p 115 à 128).

Compétences travaillées :
- prendre conscience qu’un objet plus grand qu’un autre peut cacher ce dernier

- utiliser des informations numériques dans un cadre spatial

- prendre en compte plusieurs contraintes

Matériel :

- tours unicolores de différentes hauteurs en grand et petit format

- bandes et grilles problèmes (matériel élève allant avec l’ouvrage de Dominique Valentin ou à fabriquer)

- 1 feuille bilan par élève

Déroulement possible :
Cette activité peut précéder ou suivre un travail sur les sudokus, il y a des points communs dans les raisonnements à mettre en œuvre.

1) Aligner 5 tours

- Découverte du principe à l’aide de gros matériel (de gymnastique par exemple) :

« Comment aligner ces 5 tours de tailles différentes (1, 2, 3, 4 et 5 étages) de façon à ce que l’élève X voit 3 tours et l’élève Y 2 tours ? »

Nombreux essais, on se déplace à chaque bout pour constater combien de tours sont visibles, on ajuste… On verbalise pourquoi pour voir 1 tour on met la plus grande devant, pourquoi pour en voir 5 on les aligne de la plus petite à la plus grande.

- Ensuite on passe à un format réduit en travail individuel, il faut prévoir des figurines pour figurer les 2 points de vue et ne pas hésiter à encourager les élèves à « se mettre dans la peau » de chaque figurine et à se déplacer tant qu’ils en ont encore besoin. Chacun note sur sa feuille bilan avec une croix les problèmes qu’il a résolus.

2) Placer 9 tours sur quadrillage

- Sur une grille vierge, sans nombre, demander à l’élève de placer les 9 tours de façon à ce qu’il n’y ait pas deux tours identiques sur une même ligne ou colonne. Quand cette règle est bien comprise, on peut passer aux grilles avec des nombres.

- Prévoir un personnage qui prendra les différentes places en cours de résolution. Accompagner les élèves en rappelant que les 1 indiquent une grande tour en premier et les 3 un rangement ordonné de la plus petite à la plus grande.

3) Placer 16 tours sur quadrillage

Le principe est le même mais cela devient beaucoup plus difficile car dans un premier temps plusieurs placements sont possibles à certains endroits et les élèves ont du mal à différencier les « positions sûres » des « positions possibles ». Ces grilles sont à réserver aux élèves plus à l’aise ou à accompagner tout particulièrement.

Tous les élèves en difficulté avec lesquels j’ai travaillé ont pu réussir seuls les alignements et les placements de 9 tours après un temps plus ou moins long d’appropriation de la situation.

NOUVEAU BLOG !

Pour trouver des situations motivantes aussi en Français, rendez-vous sur mon autre blog : http://lewebpedagogique.com/devanssay/

SACRÉS LAPINS !

Niveau : CE2/CM

Supports :

- l’énoncé du célèbre problème des lapins de Fibonacci

- une biographie du mathématicien

Matériel :

dessins de lapins en couples (des adultes et des bébés) à coller sur des feuilles

Compétences travaillées :

- compréhension d’un énoncé ;

- résoudre des problèmes en utilisant un raisonnement logique ;

- contrôler et discuter la pertinence ou la vraisemblance d’une solution ;

- argumenter à propos de la validité d’une solution ;

- notion de double ;

- lire des grands nombres.

Énoncé :

Le mathématicien toscan Fibonnacci, dit aussi Léonard de Pise, pose en 1202 le « problème des lapins » :

un couple de lapins, né le 1^er janvier, donne naissance à un autre couple de lapins chaque mois, dès qu’il a atteint l’âge de deux mois. Les nouveaux couples suivent la même loi de reproduction.

Combien y aura-t-il de lapins le 1^er janvier de l’année suivante, en supposant qu’aucun couple n’ait disparu entre temps ? ».

On note A₁ le nombre de couples au départ (c’est-à-dire que A₁ = 1) et A_n le nombre de couples de lapins au cours du n-ième mois.

1° Donner A₂, A₃, A₄, et A₅

2° Expliquer pourquoi pour n ≥ 3, A_n = A_n-1 = A_n-2.

3° Calculer alors A₆, A₇, A₈… A₁₃. Répondre au problème de Fibonacci.

Déclic 1èreS Hachette Éducation

Bien entendu on peut ne présenter que la première partie de l’énoncé !

Pour ma part j’ai choisi de leur donner à lire l’énoncé entier, pour que les élèves entrevoient qu’il existe d’autres manières de résoudre des problèmes qu’ils découvriront « plus tard ».

Tout de suite après la première lecture ils m’ont dit : « On ne comprend rien. », « Vraiment rien du tout ? » leur ai-je répondu. Ils ont donc admis pouvoir comprendre le début. Il a fallu clarifier quelques mots de vocabulaire : couple, reproduction et éclaircir le « en supposant qu’aucun couple n’ait disparu entre temps » qui fait ici la différence entre « la vraie vie » et le « monde des mathématiques » (de même pour la régularité supposée de la reproduction).

Déroulement :

- lecture et échanges pour comprendre l’énoncé

- représentation en collant sur des feuilles le couple de lapins en janvier (petits lapins), sur une autre feuille celui de février (encore trop petits pour se reproduire), puis chercher ce qui se passe en mars et le représenter (le premier couple est devenu adulte et a donné naissance à 2 nouveaux petits lapins)… Noter à chaque fois clairement le nombre de couples et de lapins

Il devient vite nécessaire de faire le point sur comment compter les lapins, certains élèves n’hésitant pas à compter les mêmes lapins représentés sur des mois différents. Mes élèves ont choisi de leur mettre des tâches de naissance de couleur pour les reconnaître (on peut aussi les nommer…) Cette précaution permet en outre de vérifier au cours du travail que certains lapins ne sont pas oubliés d’un mois sur l’autre (aucun ne meurt)

- quand la représentation sur feuille commence à devenir laborieuse il est temps d’amener les élèves à découvrir que les nombres de couples trouvés sont ceux de la suite de Fibonacci en leur faisant par exemple lire la biographie du mathématicien

Bien évidemment on ne peut attendre d’élèves de l’école primaire qu’ils découvrent seuls le fonctionnement de la suite.

- on vérifie que cela « marche vraiment » en cherchant encore un ou deux mois puis on termine le problème en utilisant la suite

Vous trouverez dans cet article de la revue « Animation & Éducation » de l’OCCE un descriptif très complet de la première séance. Merci à Marie-France RACHEDI qui a su apprécier et décrire finement cette séance de travail.

Tentative d’explication :

Pourquoi le nombre de couples (et de lapins aussi d’ailleurs) suit-il la suite de Fibonacci ?

On peut tenter de l’expliquer aux élèves (avec l’aide du support des affiches) : chaque mois on retrouve les lapins du mois précédent + leurs enfants. Ces enfants sont aussi nombreux que les lapins ayant au moins 2 mois, soit le nombre de lapins présents 2 mois auparavant.

Nombre de lapins du mois n = nombre de lapins du mois n-1 + nombre de lapins du mois n-2

Prolongement possible :

À l’aide du petit programme concocté par mon fils (qui m’a donné l’excellente idée de traiter ce problème avec mes élèves, merci Florian ;-)) on peut faire chercher aux élèves au bout de combien de mois on dépasse 1 000 000 de lapins puis 1 000 000 000. Comme les espaces ne sont pas marqués dans le programme, c’est une situation idéale pour travailler la lecture de grands nombres et prendre conscience de la grande utilité d’espacer les différentes classes. Le programme ayant une présentation austère, Florian a aussi prévu un joli fond d’écran sur le thème des lapins pour égayer l’ordinateur pendant le travail.

Cette situation va être présentée par mes élèves dans le cadre du 6^ème forum des sciences[1] organisé par la Maison des sciences de Châtenay-Malabry les 30 et 31 mai prochains.

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[1] Le forum des sciences est une manifestation qui a lieu tous les ans, depuis 6 ans en fin d’année scolaire sur la ville de Châtenay-Malabry. Il est organisé par l’association « La Maison des Sciences » en partenariat avec le Réseau Réussite Scolaire de Châtenay-Malabry, l’École Centrale de Paris, l’École supérieure d’optique, l’Inspection académique des Hauts-de-Seine, la ville de Châtenay-Malabry, le CNRS, la Main à la Pâte, l’Andra, l’Observatoire de Paris à Meudon. Tout au long de l’année scolaire les classes de la commune sont invitées à travailler en sciences avec « La maison des sciences » (lieu avec un enseignant et du matériel scientifique) et/ou des élèves d’écoles supérieures qui viennent animer des ateliers scientifiques dans les écoles. Ensuite ces classes présentent leur travail au forum des sciences pendant une journée et demie, sous la forme d’une ou plusieurs expériences proposées aux visiteurs. Les visiteurs sont les élèves des autres classes, les enseignants, les étudiants et les parents. Depuis 3 ans, quelques classes présentent aussi des activités mathématiques.

365 PINGOUINS

Niveau : CE2/CM

Support :

Album « 365 pingouins » de Jean-Luc Fromental et Joëlle Jolivet – Éditeur Naïve

Cet album est un régal, vif et coloré il nous raconte une histoire farfelue prétexte à de nombreux calculs mathématiques. Une famille reçoit le 1^er janvier un pingouin par la poste, puis un nouveau chaque jour. La maison se retrouve envahie, les situations cocasses s’enchaînent : il faut les nourrir, les laver, les ranger… Combien de pingouins y aura-t-il à la fin du mois de février ? Quel jour arrivera le 100^ème pingouin ? Combien de pingouins peut-on ranger dans un cube de 6 pingouins d’arête ?

La chute est savoureuse et l’histoire permet également de faire le lien avec l’éducation à l’environnement car ces volatiles se révèlent être des « réfugiés climatiques ».

Compétences travaillées :

- résoudre des problèmes en utilisant les connaissances sur les nombres naturels et décimaux et sur les opérations étudiées

- contrôler et discuter la pertinence ou la vraisemblance d’une solution

- argumenter à propos de la validité d’une solution

- utiliser un calendrier et ses connaissances sur le temps (nombre de jours dans un mois, une année)

J’ai travaillé sur ce livre avec des élèves de CE2, CM1 et CM2 en difficulté. Tous ont beaucoup apprécié l’histoire et se sont volontiers pliés au jeu de faire les calculs proposés. On peut ensuite vérifier les solutions trouvées dans le livre.

Nous avons ensuite cherché ensemble d’autres questions que l’on aurait pu se poser. Vous les trouverez là.

Tables de multiplication

Approche très intéressante...

Ici : http://acim.ouvaton.org/article.php3?id_article=25
vous trouverez tout un travail pour aborder les tables de multiplication sous un angle nouveau, à savoir une représentation géométrique.
Intéressant pour donner du sens et travailler autrement la mémorisation des tables.

On peut compléter ce travail par la fabrication d'une table de Pythagore où chaque résultat est représenté par le rectangle correspondant. Pour voir ce que cela donne au final : cliquez ici

Pyramide de sucres

Vous trouverez un article plus détaillé sur cette activité ici.

Niveau : CM

Le principe :
Faire calculer aux élèves combien il faut de sucres pour construire une pyramide (ici base de 20 sucres sur 20, étage suivant de 19 sur 19...).
Construire la pyramide et faire faire le calcul à d'autres.

J'ai mené cette activité avec 3 élèves de CM2 en difficulté en vue d'animer un atelier mathématique dans un "Forum des sciences" organisé sur la commune où je travaille. Cette activité peut aussi donner lieu à un stand pour la fête de fin d'année de l'école.

Pour plus de facilité il faut utiliser des sucres carrés.
Il faut compter 2 heures environ pour monter la pyramide.
Cette activité a eu beaucoup de succès auprès des élèves visiteurs et a beaucoup valorisé les élèves organisateurs.

Compétences travaillées :
- approcher la notion de carré
- organiser et traiter des calculs (multiplicatifs et additifs)
- utiliser à bon escient sa calculatrice
- effectuer une division pour déterminer le nombre de boîtes nécessaires
- penser et mettre en oeuvre des aides et adaptations possibles pour les élèves qui participeront à l'atelier en fonction de leur niveau de classe
- devenir "expert"

Déroulement possible :
- présenter le projet aux élèves, construire avec des cubes une petite pyramide pour qu'ils comprennent la structure et préciser qu'avec les sucres la base sera un carré de 20 sucres de côté
- calcul du nombre de sucres nécessaires pour la base, ne pas hésiter à leur faire dessiner un carré de 20 carreaux de côté sur papier quadrillé pour qu'ils visualisent et évitent de faire 20 + 20 + 20 + 20 (au passage revoir la règle des zéros qui permet le calcul de tête de 20 x 20)
- calcul des étages suivants puis addition des 20 résultats obtenus
- combien va-t-il falloir acheter de boîtes ? Calculer d'abord le nombre de sucres dans une boîte (cf ERMEL CM1 p 239) puis effectuer la division. ATTENTION, il faut prévoir une boîte de plus que le résultat trouvé !!! Pour que les élèves en prennent conscience leur faire calculer le nombre de sucres dans le nombre de boîtes trouvé pour vérifier qu'on en aura assez.


Pour que le stand soit accessible à tous, on peut proposer aux CE1/CE2 d'annoncer le nombre de sucres auquel ils pensent, un élève qui anime le stand annonce alors "plus" ou "moins", celui qui trouve le nombre exact gagne... un sucre !
Pour les CM des calculettes à disposition permettent de réaliser le calcul en une dizaine de minutes.

Des étudiants de Centrale, présents au forum des sciences où nous avons présenté cette activité, nous ont étonné en faisant le calcul de tête en quelques secondes.
Ils utilisent la formule suivante :
n (n + 1) (2n + 1) /6 où n est le nombre de sucres sur un côté de la base de la pyramide.

Pour décorer votre stand, le CEDUS (Centre d'Etude et de Documentation du Sucre) propose pour un prix symbolique 2 magnifiques affiches là : http://www.lesucre.com (documentation - le catalogue - je désire recevoir le catalogue)

Sudokus pour les maternelles

Niveau : GS

Présentation du jeu d'origine : Sudoku (en japonais : sudoku 数独, signifiant chiffre unique) est un puzzle à chiffres. Le but du jeu est de remplir la grille avec des chiffres allant de 1 à 9, en partant de certains chiffres déjà disposés dans la grille. La grille est généralement composée de régions de neuf carrés 3x3 formant une grille 9x9. Chaque ligne, colonne et région ne doit contenir qu'une fois chaque chiffre. Le remplissage de la grille demande de la patience et une certaine logique. Sudoku est devenu populaire au Japon en 1986 et est devenu connu dans le monde en 2005.

Les explications ci-dessus viennent de l'encyclopédie Wikipedia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Sudoku

Avant de proposer des sudokus à vos élèves, je vous conseille vivement d'essayer si vous ne connaissez pas encore ce jeu. Vous pourrez ainsi expérimenter tous les raisonnements à mettre en oeuvre pour résoudre un sudoku.
Vous trouverez de nombreuses grilles là : http://www.e-sudoku.fr

Références :
On trouve des grilles adaptées aux élèves de maternelle, où les chiffres sont remplacés par des dessins, sur ce site : http://www.gap.ien.05.ac-aix-marseille.fr/rre/article.php3?id_article=1262
Vous pouvez télécharger ici 8 grilles de difficulté progressive : grilles sudokus pour la maternelle
Ces grilles peuvent être imprimées puis plastifiées ; pour avoir de quoi les compléter, il suffit d'imprimer des grilles supplémentaires et de découper puis plastifier les différents motifs.

ATTENTION ! Les traits qui délimitent les régions sont à peine plus épais que les autres, il est indispensable pour une bonne lisibilité de les grossir avec un marqueur.

Vous trouverez aussi sur ce site des grilles de sudokus pour les élèves de primaire.


Compétences travaillées :
- savoir organiser des objets dans l'espace en respectant 3 contraintes
- travailler les notions de ligne, colonne (et "région")


Déroulement possible :
- sur une excellente idée de ma collègue Danièle FIOR, j'ai présenté aux élèves une grille remplie on a observé ce qu'il y a dans les cases, comment cela est organisé. Puis à la manière d'un jeu de kim j'ai enlevé un élément et les élèves devaient déduire quel motif manquait
- résolution d'une grille simple (4 motifs différents) en commun avec commentaires : "Comment tu sais que c'est un coeur qu'il faut mettre là ?"...
- résolution des 4 grilles simples en individuel
- reprise de la même démarche avec les grilles plus complexes (6 motifs différents), avec un souci supplémentaire car il devient utile pour résoudre ces grilles de différencier un motif sûr (il ne peut être placé ailleurs) et un motif susceptible d'occuper plusieurs places dans un premier temps

Dans le cas des 2 élèves en difficulté avec lesquels j'ai testé cette activité, j'ai dû les accompagner pour la réalisation des grilles complexes :
- les aider en enlevant des motifs qui rendaient impossible le placement des suivants
- leur fixer des endroits à compléter (par exemple 2 cases vides sur une même ligne, colonne ou région) pour qu'ils voient que si l'un des motifs pouvaient occuper les 2 places dans un premier temps, l'arrivée du second permettait de trouver le seul placement possible des 2 motifs
- leur donner un motif à placer dans une ligne, colonne ou région donnée

Cet article a vu le jour grâce à Raymond TOMCZAK qui a eu l'excellente idée de me communiquer le lien vers le site où l'on trouve ces grilles "spécial maternelles"

Salon de la culture et des jeux mathématiques

Une mine d’idées, un salon gratuit à ne surtout pas manquer !!!

Site du salon : http://www.cijm.org/

Le prochain salon se tiendra pendant 3 jours lors des fêtes de l'Ascension, place Saint-Sulpice à PARIS, VI° Arrondissement.

Littérature de jeunesse

« L’histoire des chiffres de zéro à dix », Vivian French et Ross Collins, Gauthier-Languereau

Nous utilisons les chiffres chaque jour, partout dans le monde et ils constituent un véritable langage universel. De zéro à neuf, ils ne sont que dix, mais ils nous permettent de résoudre tous les problèmes mathématiques imaginables !
D'où viennent-ils ? Et comment comptait-on, avant l'apparition des chiffres ? Le pingouin et ses copains répondront à ces questions - et à bien d'autres encore !
Ils reviennent d'un voyage qui les a transportés plus de 28 000 ans en arrière, à l'époque où les hommes commencèrent à essayer de mesurer le temps. Ils sont allés en Amérique du Sud et en Afrique, à Babylone, à Sumer, en Arabie, en Europe et en Inde, et ont assisté à la découverte de la base de numération et du principe de position. Plus passionnant encore, ils ont découvert l'importance de rien ! (Pour comprendre, tu n'as qu'à lire ce livre !)

Un livre sur l’histoire des mathématiques intéressant mais pas facile à exploiter avec des élèves… Si vous en connaissez d’autres sur ce thème, merci de m’en faire part.


« Encore des histoires pressées », Bernard Friot Milan poche junior (titre de la nouvelle : Mathématique)

On peut trouver le texte de cette nouvelle là (page 16) :
http://www.ac-reims.fr/ia08/rethel/documents/testcm22004.pdf
Elle contient plein de calculs « loufoques » à faire. Il s’agit d’un enfant dont la mère est prof de maths, qui pour se venger d’un « harcèlement mathématique » quotidien se livre à quelques calculs désobligeants à l’occasion de l’anniversaire de sa mère.

J’en profite pour conseiller vivement « les histoires pressées » de Bernard Friot (4 volumes) dans leur ensemble. Ces nouvelles bourrées d’humour sont un excellent support pour le travail en Français.


« Un éléphant, ça compte énormément », Helme Heine Folio Benjamin, Gallimard

Que compte chaque matin avec tant d'attention et de fierté cet éléphant ? Il compte ces "beaux paquets bien ronds" que sont ses crottes. Pendant cinquante années, au jour de son anniversaire, il émet une crotte de plus, mais durant les cinquante années suivantes, il devra se résoudre à ne voir arriver, à chaque anniversaire qu'une crotte de moins, jusqu'à...
On l'aura compris, on est, là aussi, très loin d'un livre à compter classique ! Conte philosophique dans lequel la mort se profile discrètement, livre de compte quant on veut calculer le nombre de crottes faites par notre éléphant durant toute sa vie..., chacun le prendra comme il veut, mais ce serait dommage de ne pas le méditer.


« 1000 milliers de millions », David M. Schwartz et Steven Kellogg, Circonflexe

vous avez une petite idée du temps qu'il vous faudrait pour compter jusqu'à un million? ou jusqu'à un milliard? ou jusqu'à un billion?
et si un milliard d'enfants pouvaient grimper les uns sur les autres, vous imaginez jusqu'où ils pourraient arriver?
eh bien voilà le genre de questions sur les grands nombres qui sont posées dans ce livre et qui y trouvent au moins une réponse...


« Le pot magique – une aventure mathématique », Mitsumasa et Masaichiro Anno, Père Castor Flammarion

Des allures de livre à compter : 1 île, 2 royaumes, 3 montagnes...
mais quand on sait qu'il y a 10 pots dans chacune des 9 caisses des 8 bahuts des 7 pièces des 6 maisons des 5 quartiers des 4 villes des 3 montagnes des 2 royaumes de l'ile... , on n'est plus du tout dans le simple comptage ! Pour la plus grande joie des profs de math, voici une très belle illustration de l'idée de factorielle
"La simplicité d'une comptine, le charme des poupées gigognes..." annonce la quatrième de couverture... mais il est préférable de le lire avec des enfants un peu plus grands !


« Dix petits amis déménagent », Mitsumasa Anno, L’École des Loisirs

Collection de 10 éléments :
- tandis que la collection des enfants qui ont déjà déménagé croit, celle des enfants qui restent décroît, évidemment;
- aucun texte;
- aucun nombre;
- consignes d'utilisation en début et fin de livre;
- très beau graphisme, maisons dont les fenêtres sont découpées.

Ouvrages scolaires

« Des problèmes pour le cycle 3 –Les Maths, un outil pour comprendre le Monde » Michèle Pomme et Dominique Valentin Hatier

Recueil de situations, élaborées à partir de la réalité et nécessitant un traitement d'ordre mathématique. Amener les élèves à prendre conscience que les mathématiques ne sont pas seulement "scolaires", qu'elles permettent de mieux comprendre le monde sans être un mathématicien professionnel et, répondre à la question : "à quoi ça sert les maths ? "Cette banque de problèmes est classée par thèmes : les animaux, le voyage dans le temps et l'espace, la planète, le corps, le temps, histoire de famille, les sports et loisirs, et des énigmes "qui cherche trouve".


« Découvrir le monde avec les mathématiques – Situations pour la petite et la moyenne section » et « Découvrir le monde avec les mathématiques – Situations pour la grande section »( + le cahier d’activité de l’élève et le matériel pour la classe) de Dominique Valentin chez Hatier

Des situations expérimentées et clairement décrites pour acquérir les connaissances nouvelles : structuration de l'espace, formes et grandeurs, quantités et nombres ; et développer des compétences transversales telles que : apprendre à chercher, se poser des questions, organiser des résultats...


« Apprentissages numériques et résolution de problèmes» de l’équipe ERMEL chez Hatier (niveaux GS ; CP ; CE1 ; CE2 ; CM1 ; CM2)

La collection Ermel est une série d'ouvrages qui résultent de nombreuses années de recherches et d'activités expérimentales par l'équipe didactique des mathématiques de l'I.N.R.P. sur les apprentissages numériques et la résolution de problèmes. Ce livre s'adresse aussi bien aux enseignants qu'aux formateurs. Les apprentissages traités sont relatifs aux nombres, à la numération, au calcul ainsi qu'à la résolution de problèmes. Une première partie est consacrée à l'explicitation des fondements théoriques et des choix didactiques qui sous-tendent les propositions d'enseignement. Chaque thème mathématique est ensuite abordé d'un double point de vue :
- explication et justification des choix d'enseignement replacés dans une perspective historique ;
- description commentée des activités et de leur mise en œuvre, à partir des expérimentations conduites dans des classes pendant plusieurs années.
Des propositions d'enseignement expérimentées, fondées sur :
- l'appropriation progressive des connaissances numériques à travers des situations de résolutions de problèmes ;
- l'exploitation des productions des élèves et les débats qui en découlent ;
- le renforcement et le réinvestissement réguliers des acquis.


« Spécial grand N – Points de départ » Activités et problèmes mathématiques pour les élèves de l’école primaire (Cycle III) et du collège, IREM de Grenoble

On peut le commander en imprimant le bon de commande qui est là :
http://www-irem.ujf-grenoble.fr/new2006/revue_n/Documents/BondeCommande.pdf
Plus de 50 situations-problèmes pour le cycle III

Il s’agit à la fois :
- de points de départ pour les élèves, avec des activités attrayantes et stimulantes dans lesquelles ils vont s’engager avec plaisir ;
- mais aussi de points de départ pour les maîtres qui pourront trouver matière pour enrichir leurs séquences d’enseignements, en reprenant certains éléments, en les modifiant, en trouvant avec leurs élèves des prolongements possibles.
Chaque point de départ est accompagné d’un commentaire qui explicite son intérêt, précise les choix opérés par les rédacteurs et propose éventuellement quelques prolongements.


« Le système des nombres – activités de remédiation en mathématiques », Marc-Olivier Roux, EAP

L’objectif général est de donner à l’enfant une vision globale du système des nombres et de l’aider à se construire une représentation mentale organisée de la numération...
D’où l’utilisation de supports graphiques et symboliques aidant à la construction puis à l’utilisation des connaissances.

Les différents aspects abordés sont les suivants :
- Lecture et écriture des nombres de 1 à 100 puis de 1 à 1000.
- Appropriation du système des nombres et de ses règles de fonctionnement.
- Entraînement au sur comptage et au calcul réfléchi.
- Utilisation de la numération pour le calcul mental.
- Le sens du nombre dans ses aspects ordinaux et cardinaux.
- Relations d’ordre à l’intérieur de la suite numérique.

Une autre façon d’aborder le système des nombres avec des planches abstraites – Certaines contenant 1000 éléments regroupés par dizaines et centaines sont très précieuses pour retravailler la numération avec des élèves en difficulté soit après avoir manipulé (cf. article sur les fourmillions), soit pour éviter la manipulation avec les plus grands.

Des sites internet intéressants

Des énigmes, des problèmes et des défis :

http://www.recreomath.qc.ca/
http://www.ac-amiens.fr/pedagogie/associations/adcs
http://membres.lycos.fr/croco/PROB/enigmes.html



Des puzzles et des casse-tête à construire :

http://www.archimedes-lab.org/atelier.html

Rectangles

Niveau : CE2 - CM

Découpe les pièces et reconstitue un rectangle.


Cherche Toutes les solutions différentes.


Compétences travaillées :
- utiliser à bon escient le vocabulaire suivant : triangle, carré, rectangle
- tracer des figures géométriques sur papier quadrillé
- décrire une figure en vue de l’identifier dans un lot de figures
- recherche exhaustive de toutes les solutions possibles d’un problème
- organisation, classement des solutions afin de vérifier et de prouver qu’on les a toutes


Déroulement possible :
- chaque élève découpe les pièces et constitue un rectangle
- discussion autour des productions obtenues : lesquelles sont bien des rectangles ? Se mettre au clair sur les caractéristiques d’un rectangle (attention un carré est aussi un rectangle !)
- chaque élève cherche différents rectangles possibles à l’aide de ses pièces et les dessine sur une feuille à petits carreaux
- travail en petits groupes les élèves découpent les rectangles trouvés et les mettent en commun en éliminant les doublons (une fois découpés, on peut les tourner dans tous les sens et les comparer vraiment)
- chaque groupe trie les solutions qu’il a trouvées et cherche alors celles qui pourraient manquer
- mise en commun au niveau de la classe

Ce problème est beaucoup plus complexe qu’il n’y parait, essayez et vous verrez …


Prolongement possible :

Faire fabriquer aux élèves 16 carrés bicolores comme celui-ci sur du carton (excellent exercice de construction géométrique !)

Chercher tous les assemblages possibles de 2 carrés , puis tous ceux de 4 carrés (assemblés pour former un grand carré).
Avec cette situation on peut travailler sur la symétrie.

Le dictionnaire

Niveau : CE2 - CM

Xavier est en train d’écrire un dictionnaire. Son éditeur lui dit :
- Quand tu déposeras ton manuscrit, je te donnerai une avance. Elle sera calculée selon le nombre de pages du manuscrit.
- C’est-à-dire ?
- Je vais additionner tous les chiffres qui ont été nécessaires pour paginer ton manuscrit. Cette somme correspondra au montant de l’avance en euros. Par exemple, si ton manuscrit avait 20 pages, le montant de l’avance serait : 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 9 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 3 + ... + 1 + 9 + 2 + 0. Ce qui te donnerait 102 euros.
Quand le manuscrit fut terminé, il avait 599 pages.
Quel montant Xavier a-t-il obtenu de son éditeur ?


Références :
On trouve ce problème et plein d’autres sur le site http://www.recreomath.qc.ca/ dans la rubrique « Défis »


Compétences travaillées :
- associer désignations orales et écrites des nombres
- calculer des sommes de nombres entiers mentalement
- organiser et traiter des calculs additifs longs
- utiliser à bon escient sa calculatrice


Déroulement possible :
- lecture de l’énoncé, discussion autour de la compréhension de la méthode employée pour calculer l’avance
- vérification avec ce qui a été compris que l’on trouve bien 102 € pour les 20 premières pages
- calcul de la somme correspondant aux 20 pages suivantes
- recherche d’une organisation possible pour mener à bien la recherche (méthodes, répartition du travail)
- addition finale et vérification du résultat


Prolongements possibles :

On veut écrire tous les nombres de 0 à 285. Combien de fois faudra-t-il utiliser le chiffre 7 ?


« L’imprimeur » : Un imprimeur édite un livre de « a » pages. Chaque page est numérotée : 1, 2, 3… « a ». Combien de chiffres ont été imprimé pour numéroter ce livre ?
« a » sera choisi voisin de 500.

Cette situation se trouve page 159 dans « Apprentissages numériques et résolution de problèmes CM2 » de l’équipe ERMEL chez Hatier

Les fourmillions

Niveau : CP-CE1

Les élèves vont s’organiser pour dénombrer plus de 2 000 petits objets en effectuant des groupements par 10 puis par 100 puis par 1 000. On peut utiliser des allumettes, des trombones, des cubes, des bâtons de glace …


Références :
Cette situation se trouve dans « Apprentissages numériques et résolution de problèmes » de l’équipe ERMEL chez Hatier dans les volumes CP (page 319) et CE1 (page 316)


Compétences travaillées :
- dénombrer et réaliser des quantités en utilisant le comptage un à un ou des groupements et des échanges par dizaines et centaines
- comprendre et déterminer la valeur des chiffres en fonction de leur position dans l’écriture décimale d’un nombre
- produire des suites orales et écrites de nombres de 1 en 1, 10 en 10, 100 en 100
- associer les désignations chiffrées et orales des nombres


Déroulement possible :
- réunir les élèves autour du tas d’objets : Combien y a-t-il d’objets ? Comment va-t-on faire pour savoir combien il y en a ?
- après d’éventuelles autres tentatives ou parallèlement, groupement des objets par 10 (dans des enveloppes, à l’aide d’élastiques…)
- quand tous les paquets de 10 sont faits on se repose la question : Combien y a-t-il d’objets ?
- groupement des objets par 100
- à cette étape il est possible de dénombrer les objets en comptant de 100 en 100, on peut faire tout de suite ou seulement plus tard dans le travail les groupements par 1 000
- reprise de l’activité avec un stock complémentaire d’objets (déjà groupés ou non) qui nécessitera de faire des nouveaux groupements

Si certains élèves partent au début dans d’autres groupements que les groupements par 10, on peut à un moment, chronomètre en main, comparer le temps qu’il faut pour dénombrer 2 tas équivalents. Le dénombrement de 10 en 10 se révèlera plus rapide et donc plus efficace. Il ne s’agit pas ici de laisser les élèves « inventer » un système de numération mais de les faire entrer dans notre système tel qu’il est. Il est opportun à cette occasion d’attirer l’attention des élèves sur le pourquoi du choix du groupement par 10 dans notre système de numération.

Prolongement possible :
Le trésor (ERMEL CE1 page 329) : Chaque élève se constitue un trésor (composé de petits objets appelés « pépites ») par tirage au sort de nombres. Il tient alors un carnet de comptes et organise son trésor afin de toujours savoir de combien de pépites il dispose. Cette activité permet de travailler en plus la technique opératoire de l’addition avec des unités, dizaines et centaines matérialisées (idéal pour « voir » ce qui se passe avec les retenues).

Livre du million

Niveau : CM

Le livre du million contient tous les nombres entiers écrits en chiffres de 1 à 1 000 000 à raison de 1 000 nombres par page.

Combien de pages contient ce livre ?

Références :
Cette situation se trouve page 150 dans « Apprentissages numériques et résolution de problèmes CM2 » de l’équipe ERMEL chez Hatier
Pour travailler cette situation il faut avoir quelques pages de ce fameux livre. Avec l’autorisation de Marianne Frémin, membre de l’équipe ERMEL et créatrice de ces pages, je peux les envoyer par mail à ceux qui m’en feront la demande.


Compétences travaillées :
- associer la désignation orale et la désignation écrite (en chiffres) pour des nombres jusqu’à la classe des millions
- comparer des nombres ; les situer dans un intervalle


Déroulement possible :
- sans évoquer le livre du million, donner une page différente à chaque élève qui doit la décrire par écrit
- mise en commun des observations
- présentation du livre par le maître (il contient les 34 premières pages et la dernière)
- trouver le premier nombre ou le dernier d’une page donnée ; chercher sur quelle page se trouve un nombre donné
- donner la même page à tous les élèves et leur demander de mettre le doigt le plus rapidement possible sur un nombre particulier
- chercher combien de pages contient le livre du million

Pour faire visualiser le résultat aux élèves on peut leur montrer 2 ramettes de papier (500 pages chacune).


Prolongements possibles :
On peut chercher le nombre de ramettes de papier nécessaires pour faire le livre du milliard. Si toutes ces ramettes étaient empilées les unes sur les autres, la tour obtenue s’élèverait-elle aussi haut que le Mont-Blanc ?

Dans l’album « 1000 milliers de millions » on trouve de nombreux calculs sur les notions de million, milliard et billion ! « Si un milliard d’enfants grimpaient les uns sur les autres… ils dépasseraient la lune. » Tous les calculs sont expliqués très clairement à la fin, on peut donc les refaire avec les élèves.
« 1000 milliers de millions » de David M. Schwartz et Steven Kellogg chez Circonflexe

Les embouteillages

Niveau : fin PS - MS - GS dans sa version adaptée
(jusqu'au CM2 et au delà dans sa version normale)

Il s’agit d’une adaptation du casse-tête « Embouteillages » (aussi connu sous le nom de rush hour). Une voiture rouge est bloquée par d’autres véhicules, le but est de déplacer les véhicules afin de faire sortir la voiture rouge de l’embouteillage.
Des cartes-problèmes donnent les positions de départ des véhicules.

On peut tester le principe du jeu ici, et même utiliser ce programme avec les élèves une fois qu’ils sont familiarisés avec le matériel.

Références :
L’adaptation de ce jeu et toute la démarche sont décrits dans les ouvrages suivants :
« Découvrir le monde avec les mathématiques – Situations pour la petite et la moyenne section » et « Découvrir le monde avec les mathématiques – Situations pour la grande section » de Dominique Valentin chez Hatier

Le jeu se trouve chez didacto http://www.didacto.fr/ et éveil et jeux http://www.eveiletjeux.com/ pour environ 20 €

Compétences travaillées :
- apprendre à formuler des interrogations plus rationnelles, à anticiper des situations, à prévoir des conséquences, à observer les effets de ses actes, à construire des relations entre les phénomènes observés
- décrire des positions relatives ou des déplacements à l'aide d'indicateurs spatiaux et en se référant à des repères stables variés

Déroulement possible :
- présentation du matériel et des règles
- appropriation de la situation en petit groupe
- résolution de problèmes sur le jeu adapté
- résolution de problèmes sur le jeu normal

Prolongements possibles :
Ces ouvrages proposent de nombreuses autres situations très riches : les tours, Logix…

Un record à la rame

Niveau : CM

Le Français Gérard d’Aboville a traversé le Pacifique à la rame en solitaire en 1991
Départ le 11/07/91 au Japon – arrivée le 21/11/91 aux USA, sur le bateau « Sector », long de 8 mètres et large de 1,80 mètre. Il donnait en moyenne 17 coups de rame à la minute, se reposait 10 minutes par heure et ramait 11 heures par jour.

1. A ton avis, sans faire aucun calcul, combien de coups de rame ce navigateur a-t-il donnés durant tout ce voyage ?

1 000 coups de rame ; 10 000 coups de rame ; 100 000 coups de rame ; 1 000 000 coups de rame

2. Maintenant, fais le calcul et compare avec ta réponse initiale. Es-tu surpris ?


Références :
« Des problèmes pour le cycle 3 –Les Maths, un outil pour comprendre le Monde » Michèle Pomme et Dominique Valentin Hatier p28 (attention il y a une erreur sur le nombre de jours dans la correction)
Cet ouvrage de fiches photocopiables propose de nombreux problèmes originaux pour les CE2, CM1 et CM2, classés par thèmes (les animaux, l’espace, le corps…)

Compétences travaillées :
- connaître les unités de mesure des durées (mois, jour, heure, minute) et leurs relations
- organiser et traiter des calculs additifs, soustractifs et multiplicatifs

Déroulement possible :
- situer le contexte du problème (où est le Pacifique…)
- choisir une des estimations
- déterminer les étapes de la recherche une à une ou en essayant de les anticiper toutes :
- nombre de jours
- nombre de coups de rame en une heure
- nombre de coups de rame en une journée
- nombre de coups de rame total
- comparaison du résultat obtenu avec l’estimation faite au départ

Prolongements possibles :
à partir de la nouvelle de Bernard FRIOT « Mathématique » dans « Encore des histoires pressées » Milan poche junior (on peut trouver le texte de cette nouvelle là) il y a plein de calculs « loufoques » à faire. Il s’agit d’un enfant dont la mère est prof de maths, qui pour se venger d’un « harcèlement mathématique » quotidien se livre à quelques calculs désobligeants à l’occasion de l’anniversaire de sa mère.

J’en profite pour conseiller vivement « les histoires pressées » de Bernard Friot (4 volumes) dans leur ensemble. Ces nouvelles bourrées d’humour sont un excellent support pour le travail en Français.

« Un éléphant ça compte énormément »

Niveau : CE2-CM1

Un éléphant fait une crotte par jour la 1ère année de sa vie, 2 par jour la seconde année et ainsi de suite jusqu’à ses 50 ans puis ses crottes diminuent d’une par jour et par an jusqu’à sa mort au bout de sa 100 ème année.
Combien de crottes a-t-il fait jusqu’à ses 50 ans ? jusqu’à sa mort ?

C’est un thème qui plait beaucoup aux élèves ! ! !

Références :
"Un éléphant, ça compte énormément", Helme Heine (Folio Benjamin, Gallimard, 1981)
Ce livre n’est plus édité mais on le trouve assez facilement dans les BCD et les bibliothèques municipales.

Ce livre est décrit ainsi par Dominique Valentin dans un article sur les livres à compter :
«Que compte chaque matin avec tant d'attention et de fierté cet éléphant ? Il compte ces "beaux paquets bien ronds" que sont ses crottes. Pendant cinquante années, au jour de son anniversaire, il émet une crotte de plus, mais durant les cinquante années suivantes, il devra se résoudre à ne voir arriver, à chaque anniversaire qu'une crotte de moins, jusqu'à...
On l'aura compris, on est, là aussi, très loin d'un livre à compter classique ! Conte philosophique dans lequel la mort se profile discrètement, livre de compte quant on veut calculer le nombre de crottes faites par notre éléphant durant toute sa vie..., chacun le prendra comme il veut, mais ce serait dommage de ne pas le méditer. »
(On peut trouver l’intégralité de cet article dans la revue « Grand N » nº52 pp.11-21, 1992-1993 ou là : http://www.grenoble.iufm.fr/departe/francais/livreaco/grandn.htm )

ATTENTION ! Le livre comporte 2 erreurs mathématiques : il y a d’abord une confusion entre avoir 1 an et la première année. Ensuite, une fois les 50 premières années calculées il y a multiplication par 2 du résultat pour obtenir le nombre de crottes jusqu’à sa mort (or il ne fait 50 crottes par jour que pendant la 50ème année puis repasse à 49, puis 48… crottes par jour, il faut donc multiplier par 2 le résultat des 49 premières années et ajouter la 50ème ).

Compétences travaillées :
- associer désignations orales et écrites des nombres (jusqu’à 800 000)
- organiser et traiter des calculs additifs très longs
- utiliser à bon escient sa calculatrice
- utiliser la multiplication au lieu de l’addition réitérée

Déroulement possible :
- si les élèves n’ont pas intégré le nombre de jours qu’il y a dans une année, on peut utiliser un calendrier, dessiner une crotte sur chaque jour et compter (un à un, en additionnant le nombre de jours de chaque mois) ; bien sûr on ignore les années bissextiles
- calculer les crottes faites la première année puis la seconde …. jusqu’à la 50ème (organiser ces résultats dans un tableau)
- additionner les 50 résultats obtenus (à la calculatrice en répartissant le travail ; si un élève dicte les nombres à un autre qui les tape on travaille ++ sur les désignations écrites et orales des nombres)
- observer que pour les 50 années suivantes on a déjà calculé les résultats (51ème = 49ème ; 52ème = 48ème ….100ème année = 0 crottes)
- le résultat est donc : (le total des crottes des 49 premières années X 2) + le total des crottes de la 50ème année

Tous les doigts de l’école

Niveau : CP-CE1

Il s'agit de compter tous les doigts de l’école.

Références :
Françoise Paletou IMF dans le Journal des Instituteurs n°9 Mai-Juin 1987 Nathan
On trouve l’intégralité de cet article sur Internet là

Compétences travaillées :
- compter de 10 en 10
- organiser et traiter des calculs additifs
- dénombrer une quantité en utilisant des groupements par 10
- utiliser la table de multiplication par 10

Déroulement possible :
- combien de doigts dans le groupe de travail, dans la classe : compter 1 à 1, de 10 en 10, reproduire le contour des mains au feutre puis compter…
- combien de doigts dans l’école : chercher classe par classe puis additionner les doigts ; additionner tous les élèves de toutes les classes ; demander au directeur le nombre d’élèves de l’école… (on peut suivant les idées des élèves des différents groupes tenter plusieurs méthodes et comparer les résultats obtenus)
- si un nouvel élève arrive en cours de travail dans l’école il est particulièrement intéressant de voir comment le prendre en compte ; faut-il ajouter 1 ou 10 ? Cela dépend bien sûr de la méthode choisie et de là où l’on en est…
- en cours de travail, après plusieurs observations et vérifications, l’utilisation de la table de multiplication par 10 allège le travail et permet une vérification finale simple

Prolongements possibles :
- Compter tous les doigts de la ville, du monde entier (compteurs sur Internet http://www.populationmondiale.com/ ou http://www.abacom.com/~pdescham/natmond.html)

Des situations

Les situations décrites dans les articles suivants sont des "aventures mathématiques" que j’ai effectivement vécues avec des élèves.


Vous y trouverez une description rapide et toutes les références nécessaires pour les mener à bien.


En plus des compétences spécifiques citées pour chaque situation il faut ajouter bien sûr celles-ci qui leur sont communes :

- utiliser ses connaissances pour traiter des problèmes
- chercher et produire une solution originale dans un problème de recherche
- mettre en œuvre un raisonnement, articuler les différentes étapes d’une solution
- formuler et communiquer sa démarche par écrit et les exposer oralement
- contrôler et discuter la pertinence ou la vraisemblance d’une solution
- identifier des erreurs dans une solution
- argumenter à propos de la validité d’une solution

Idées de mises en valeur

Pour mettre en valeur ou finaliser un travail de recherche mathématique on peut utiliser la réalisation d’affiches ou de livres dédiés à un problème.

On peut aussi lancer un défi à d’autres classes pour résoudre le problème travaillé ou une partie de ce problème. Ensuite les élèves de la classe étudient les solutions proposées, mettent sur la voie les élèves qui se sont trompés (ils prennent alors une position d’experts ), puis remplissent un « diplôme » à remettre à ceux qui ont trouvé.

Et pourquoi ne pas aussi rédiger un article dans le journal de l’école ou dans le blog de la classe, proposer des problèmes à des correspondants ou même tenir un « stand mathématique » à la fête de l’école ?

Concrètement, quelques pistes...

Anticiper la solution

Il est intéressant de demander aux élèves quel va être le résultat à leur avis. Cela permet de voir s’ils ont une idée de l’ordre de grandeur du résultat et ajoute un enjeu à la recherche : qui va être le plus proche de la solution ?


Ne pas connaître la réponse

Pourquoi chercher quand le maître a la réponse ? Cela empêche certains élèves de se mettre en recherche… L’idéal est que le maître ne connaisse pas la réponse pour répondre sincèrement « je ne sais pas » quand un élève demande s’il « a bon » et le pousser ainsi à vérifier par lui-même son résultat. Attention, je ne dis pas qu’il ne faut pas avoir travaillé le problème avant de le donner aux élèves, au contraire, mais juste ne pas mémoriser ni noter la réponse (ou ne pas effectuer le calcul final).


Ne pas valider

Comme le maître ne connaît pas plus la réponse que les élèves, il faut donc chercher une autre manière de valider les résultats obtenus. Là interviennent les échanges entre élèves, les différentes façons de vérifier que l’on peut mettre en œuvre … Il ne faut pas néanmoins s’interdire complètement d’intervenir, surtout quand tous sont d’accord sur quelque chose d’inexact. Là un contre-exemple ou un « je ne suis pas d’accord » est bienvenu.


Chercher avec eux

Souvent je m’installe moi aussi pendant que les élèves cherchent ; chercher avec eux, devant eux (se tromper, vérifier, réfléchir, se corriger….) aide à casser l’image du problème résolu par l’adulte ou le « bon élève » en 2 coups de cuillère à pot. Se « mettre en scène » en forçant à peine le trait est je crois une bonne chose, cela permet de donner un modèle.


Les interroger sur ce qu’ils font

Interroger l’élève sur ce qu’il fait et comment il sait qu’il faut faire comme ça (éviter les pourquoi qui bloquent l’échange) est extrêmement instructif pour l’enseignant. Cela donne de précieuses informations sur les stratégies et les procédures de l’élève.
Un élève ne fait jamais « n’importe quoi », c’est l’enseignant qui ne comprend pas comment il a fait !


Laisser en suspens...

Ne pas hésiter à laisser les choses en suspens (noter où l’on en est, la question qui se pose), cela permet aux élèves une pause qui va laisser du temps pour assimiler les choses et cela permet à l’enseignant de réfléchir à la meilleure façon de continuer la recherche (particulièrement utile quand on est dans une impasse ou devant une difficulté imprévue). De plus, à chaque reprise, pendant le temps de ré-appropriation du problème on donne une chance supplémentaire aux élèves en difficulté de rentrer davantage dans la compréhension du problème.


Suivre les élèves

« Suivre » autant que faire se peut les élèves et leurs idées, il n’est pas rare qu’ils proposent des choses auxquelles on n’avait même pas pensé, des prolongements ou des variantes intéressantes… Sans se disperser et tout prendre forcément sur l’instant, il est souvent précieux de s’en emparer. De même il faut être assez souple avec le déroulement que l’on a prévu et ne pas hésiter à les laisser s’embarquer dans les procédures coûteuses et les laisser les expérimenter suffisamment longtemps (au moins 10-15 mn). Ceci afin qu’ils ressentent eux-mêmes que c’est trop long et puissent envisager qu’il faut trouver une autre procédure.


Utiliser la calculatrice

Ne pas hésiter à faire utiliser aux élèves la calculatrice pour vérifier un résultat, effectuer des calculs coûteux en temps ou répétitifs. Il est important qu’ils découvrent aussi que ce n’est qu’un outil et que son utilisation exige de la précision pour être efficace.

Accompagner les élèves

Bien sûr, proposer des situations mathématiques complexes à des élèves (surtout s'ils sont en difficulté) doit se faire avec un maximum de précautions pour éviter que ces élèves se retrouvent en situation d’échec. Marie-Jeanne PERRIN-GLORIAN préconise d’être attentif aux points suivants :

- La résolution de problèmes complexes ne peut se concevoir qu’en s’appuyant sur des connaissances anciennes et des techniques assez solides, même si c’est pour les remettre en question.

- Il faut élaborer des problèmes qui peuvent jouer un rôle de référence tout en permettant une gestion de la complexité des situations proposées aux élèves suivant les différents moments de l’apprentissage. Nous avons dénoncé le cercle vicieux qui amène à simplifier les problèmes proposés aux élèves faibles jusqu’à les vider de leur sens. Cependant, il n’est pas raisonnable non plus de leur proposer des problèmes qu’ils ne peuvent pas démarrer.

- On peut proposer une situation complexe sur laquelle on laisse les élèves chercher sans leur fournir la solution, puis proposer un problème plus simple qui aide à la solution du problème précédent. (1)

Il convient donc de choisir soigneusement une situation complexe mettant en jeu des compétences de l’élève, pouvant servir de référence, dans laquelle les élèves peuvent rentrer et que l’on peut éclairer à l’aide d’un problème plus simple.


En suivant J.BRUNER, l'enseignant devra étayer l'élève par :

- la présence d'une phase initiale dans le processus destinée à obtenir l'adhésion de l'apprenant à la tâche (enrôlement, engager l’intérêt et l’adhésion),

- la réduction par le tuteur des degrés de liberté (réduction de l’ampleur de la tâche),

- le maintien par le tuteur de l'orientation vers un objectif défini,

- des efforts de la part du tuteur pour appeler l'attention de l'apprenant sur les caractéristiques déterminantes de la tâche (pour une bonne réalisation de la tâche, mais aussi pour que la tâche participe bien de l'apprentissage car on ne réalise pas des activités pour elles-mêmes mais en vue d'apprentissages),

- un contrôle de la frustration (qui est nécessaire parce qu'elle est l'un des moteurs de la découverte mais qui peut devenir un obstacle),

- la présentation de modèles de solutions (et non de solutions) par le tuteur (qui s'appuie sur les essais antérieurs de l'apprenant pour esquisser ces modèles). (2)

__________________________________________________________
(1) PERRIN-GLORIAN M.J. (1993) : Questions didactiques soulevées à partir de l'enseignement des mathématiques dans des "classes faibles" Recherches en didactique des mathématiques , n°13/1.2.

(2) J. S. Bruner, Le Développement de l'enfant, savoir faire, savoir dire, "La conscience, la parole et la zone proximale: réflexions sur la théorie de Vygotsky", PUF, 1983